Chapitre 10 : Géométrie dans le plan

1.Les transformations dans le plan

a.La symétrie axiale

Le symétrique d'un point A par rapport a une droite D est le point A' tel que
D soit la médiatrice du segment [AA'].
Rappel : La médiatrice est la droite qui coupe le segment en son milieu perpendiculairement.

b.La symétrie centrale

Le symétrique d'un point A par rapport a un point O est le point A' tel que O soit le milieu
du segment [AA'].

c.La translation

L'image d'un point A par une translation est un point A' que l'on déplace d'une certaine
distance.

d.La rotation

L'image d'un point A par la rotation de centre O et d'angle α est le point A' tel que:
OA = OA'
L'angle AOA' vaut α.
Le sens de la rotation est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

2.Les triangles

a.Les droites particulières dans le triangle

• Une médiane : Droite passant par un sommet et par le milieu du coté opposé a ce sommet.
• Une médiatrice: Doite qui passe par le milieu d'un segment perpendiculairement.
• Une hauteur: Droite qui passe par un sommet perpendiculairement au coté opposé a ce sommet.
• La bissectrice:Droite qui partage l'angle en deux angles égaux.

Propriétés:

Trois médianes sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle.
Trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé l'orthocentre du triangle.
Trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Trois bissectrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

b.Triangles égaux

Définition:

Deux triangles qui ont tous les cotés respectivements de memes longueurs sont dits des triangles égaux.
Ils sont superposables.

Théorèmes:

• Deux triangles qui ont un angle de meme mesure compris entre deux cotes c et c' formant cet angle égaux sont égaux.
• Deux triangles qui ont deux angles de meme mesures et un coté adjacent a ces deux angles de meme mesure
  sont égaux.
  

3.Les parallélogrammes

a.Définition et propriétés

Un parallélogramme (ABCD) est un quadrilatère avec les cotés opposés parallèles:(AB)//(CD) et (AD)//(BC).

Propriétés:

• Les diagonales se coupent en leur milieu.
  
• AB = CD et AD = BC
• Les angles opposés sont égaux  = C et B = D .

Remarque : Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme il faut soit démontrer que
ses cotés opposés sont parallèles soit que les diagonales se coupent en leur milieu soit que deux
cotés opposés sont parallèles et égaux.

b.Parallelogrammes particuliers

• Pour montrer qu'un parallelogramme est un rectangle il faut montrer que ses diagonales ont meme longueur
  soit qu'il a un angle droit
  
• Un parallélogramme est un losange:soit que ses diagonales sont perpendiculaires soit deux cotés consécutifs égaux.
• Un rectangle est un carrée si les diagonales sont perpendiculaires ou si deux cotés consécutifs sont
  égaux.





• Un losange est un carrée si ses diagonales ont meme longeur ou si il a un angle droit.

4.Théorèmes et propriétés de base

a.Droites des milieux

Théorème 1 : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'un coté parallèlement a un deuxième
coté passe par le milieu du troisième coté.

Théorème 2 : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu de deux cotés est parallèle au troisième coté.
I milieu de [AB], J milieu de [BC] donc (IJ)//(AC) et IJ = AC/2.

b.Théorème de Pythagore - Réciproque - Contraposée

Théorème:

Si ABC est un triangle rectangle en A alors:
AB²+AC²=BC²

Réciproque:

Si dans un triangle ABC on a AB²+AC²=BC² alors ABC est rectangle en A

Contraposée:

Si dans un triangle ABC on a AB²+AC²≠BC² alors ABC n'est pas rectangle en A.

c.Cercle et triangle rectangle

• Soit un cercle C de diamètre [AB] soit M un point du cercle alors le triangle AMB est rectangle en M.
  
• Réciproquement si AMB est un triangle rectangle en M alors M est sur le cercle de diamètre [AB].